חכם משה אדרעי נולד לאביו חכם יצחק ולאמו מרים בשנת תקל"ה (1775) בעיר אגדיר שבדרום מרוקו.
עוד שהיה רך בימים עברה משפחתו לעיר אסואירה, שהוקמה מחדש, כעשור קודם, לכן ע"י הסולטן מוחמד בן עבדאללה על בסיס היישוב מוגדור. בשנת תקמ"ד (1784), כשהיה בן תשע, נפטר אביו, והוא עבר לעיר סאלי לבית דודו חכם מסעוד, שם למד בישיבת חכם יהודה אנהורי.
בשנת תקמ"ז (1787), כשהיה בן שתיים-עשרה, יצא למסע ברחבי מרוקו, והיה מרגיל עצמו, בכל מקום שבא, לדרוש ברבים בביאור במקרא ובדברי אגדה. במסעו הצטרף לאחד מחכמי המערב, שהיה במסעו לארץ ישראל, והגיע עימו עד העיר תלמסאן שבאלג'יר. אחר חזר לעיר סאלי להעמיק בלימודו.
בשנת תק"ן (1790) תפס את השלטון הסולטאן יזיד. במהלך שתי שנות שלטונו, הורע מצבם של יהודי מרוקו, ובעידודו החל גל פרעות נגד היהודים ששטף ערים רבות במרוקו. חכם משה אדרעי יצא לעיר מוגדור, לראות בשלום אימו ואחיו, כפי שכתב בהקדמת ספרו 'יד משה': 'בקום עליהם חיל גויים, מלך רע, מר וקשה, אשר הרג ושרף, כמה וכמה, וטפם וחילם היה לבז'. בעקבות הפרעות, חכם משה אדרעי, עוזב את מרוקו, כשהוא נלווה אל השד"ר החכם יוסף סיראני, ומגיע אל העיר לונדון באנגליה. שם החל ללמוד בבית המדרש 'עץ חיים' של הקהילה הספרדית 'שער השמיים'. בשנת תקנ"ב (1792) הוציא לאור בלונדון את הספר 'תורת חיים' - תיקון לליל השישי לארבעה שבועות, כפי שנהגו בערי המערב גם בימי השובבים, ובבית היולדת.
בשנת תקס"ב (1802) עבר לאמסטרדם, שם למד בישיבת 'עץ חיים' מפי החכם דניאל הכהן די אזיוידו, והצטרף לחברת 'מבוא התלמוד' בראשות החכם שמואל מיניש די סולה. בשנת תקס"ט (1809) הוציא לאור באמסטרדם את ספר דרשותיו 'יד משה', ובשנת תקע"ח (1818) הוציא לאור את ספרו 'מעשה נסים' על עשרת השבטים. הספר פורסם תחת השם 'שארית ישראל' במהדורות שונות בעברית, יידיש ובאנגלית.
בשנת תקצ"ז (1837) החל במסעו אל ארץ ישראל, מסע שארך כארבע שנים, ובדרכו עבר בצרפת, איטליה, ובתורכיה. בעיר איזמיר שם שהה איבד את כתביו ונכסיו בשריפה שפרתה בעיר. בשנת תר"א (1841) זכה סוף סוף והגיע לארץ ישראל, והספיק להדפיס בירושלים את ספר ה'אזהרות לרבי ראובן מברצלונה.
חכם משה אדרעי נפטר בירושלים בשנת תר"ב (1842). יום פטירתו אינו ידוע לנו, אנו מציינים אותו ביום כ"ז סיוון, יום בו סיים את כתיבת ספרו 'מעשה ניסים'.