חכם אליהו באהי עלוש נולד לאביו ולאימו בעיר קונסטנטין באלג'יריה.
דיין ודרשן בעיר קונסטנטין. בשנת תרל"א (1871) ביקר בקונסטנטין, חכם יעקב סיקלי, שליח דרבנן מהעיר צפת, הכותב על חכם אליהו בהאי עלוש, הדיין המצוין כמי שהתערב לטובתו להצלחת מסעותיו. בשנת תרל"ב (1872) הוא חתום על הסכמה לספר סמד"ר לחכם מסעוד בן יוסף גוזלאן. יש בידנו תעודה מבית הדין, בו ישב עם חכם שלמה דוכאן, וחכם אליהו טובייאנא בשנת תר"ן (1890).
בשנת תרנ"ב (1892) זכה ועלה לארץ ישראל, התיישב בירושלים, והצטרף לישיבת 'כנסת ישראל'. בארץ סבל מייסורים וחולאים רבים, נפטר ביום י"ח באב תרנ"ב (1892), ומנוחתו כבוד בהר הזיתים.
ספרו 'ארץ טוב' - דרשות יצא לאור בשנת תרנ"ג (1893) יחד עם הספר 'ארץ צבי' לרבי צבי הירש מוואיידסלוב, בידי חכם יוסף ארוואץ, שהיה שליח דרבנן, והכירו מעירו קונסטנטין. בסוף הספר נוסף גם הספד שנשא לזכותו. הספר יצא במהדורה נוספת בשנת תשנ"ז (1997) בהוצאת מכון גיא יינשא - המרכז ללימודי יהדות אלג'יריה.