אביו, שהיה ידוע בכינוי כ'חכם עזור', היה אב בית הדין של דמשק, עלה עם משפחתו לארץ בשנת תש"ט (1949). באותם ימים, נכדו התינוק, רפאל, בנה של בתו אג'יני משען, נעלם בבית החולים דונולו ביפו, ועקבותיו אינם ידועים עד היום. בכל אופן, הם התיישבו בעיר תל-אביב, וחכם עזור שימש כרב שכונת התקווה בתל אביב.
חכם יעקב ברוך הכהן טראב נשא לאישה את מרת שמחה בת החכם עמרם אזולאי.
בשנת תשכ"ב (1962) נפטר אביו, וחכם יעקב ברוך הכהן טראב נתמנה אחריו כרבה של שכונת התקווה, תפקיד, בו שימש כשלושים שנה עד יום פטירתו. הוא הקים את ישיבת 'רבנו יוסף חיים' ועמד בראשה. היה ידוע במסירותו לקהילתו ולתלמידיו. היה הולך מביתו לישיבה, למרות שהמרחק הוא מרחק נסיעה כדי לראות ולפגוש את אנשי שכונתו בדרכו. עת שימש כמוהל, לא רק שלא ביקש שכר, אלא היה מביא כיבוד בעצמו לכבוד המשפחות.
חכם יעקב ברוך הכהן טראב נפטר בייסורים, לאחר מחלה קשה, ביום א' טבת תשנ"ג (1993)
לאחר מותו אוגדו דרשותיו וחידושיו מתוך כתב ידו והוצאו לאור בספר 'יעטה מורה'.
