חכם אברהם אלמליח נולד לאביו משה ולאמו חסיבה בשנת תרפ"ה (1925) בכפר אלקלעא במרוקו.
כבר בילדותו נודע חכם אברהם אלמליח כעילוי. בשנת תרצ"ח (1938) עבר ללמוד במרכש מפי חכם יעקב דהאן. בשנת תש"ג (1943) הוסמך כשוחט, והיה מלמד בתלמודי התורה.
בשנת תש"ז (1947) נשא לאישה את זהבה, ונולדו להם שישה ילדים.
חכם אברהם אלמליח היה אחד ממנהיגי הקהילה בכפרו אלקלעא. הוא הקים ישיבה בעיירה אמזמז ובמקביל כיהן כרשם נישואין וגיטין בבית הדין במרכש.
בשנת תשט"ו (1955) זכה ועלה עם משפחתו לארץ ישראל, ושימש בקודש כרבם של דימונה וירוחם.
בשנת תשמ"ג (1983), התמנה לדיין בבית הדין בבאר שבע, ובשנת תשמ"ה (1985) התמנה למנהל בתי הדין הרבניים בישראל. בשנת תשנ"א (1991) התמנה לאב בית הדין המיוחד בירושלים.
בשנת תשנ"ד (1994), פרש לגמלאות אך המשיך לשמש בקודש. הוא למד בכולל 'דרכי הוראה', שימש כיו"ר הוועדה לבחינות דיינים, אב בית הדין לגיור ברבנות הצבאית, ואב בית דין בעיר מרסיי, ועמד בראש הוועדה למינוי רבנים ראשיים בישראל.
חכם אברהם אלמליח נפטר ביום כ"ח באב תשע"ב (2012) ונטמן בהר המנוחות בירושלים.
כתביו התפרסמו בחיבור 'בתוך עמי' - 4 חלקים. חידושים על הש"ס ועל פרשיות השבוע, והלכות.