ראשית תורתו למד מפי אביו, חכם מכלוף שטרית, בטבריה, מחבר הספר 'אהלי שם', שעלה מתפילאלת במרוקו, בשנת תרמ"ו (1886), שימש בדיינות בעיר טבריה, והיה נשיא כוללות רבי מאיר בעל הנס, במשך כארבעים שנה.
הוא היה ילד פלא, שלמד ביחידות מפי החכם חיים הלוי, וכבר בגיל 5 החל ללמוד גמרא. הוא החל ללמוד בתלמוד תורה, מייסודו של החכם רפאל ביבס אך כשהיה בן 6, פרצה מלחמת העולם הראשונה, שהמיטה חרפת רעב על יושבי העיר טבריה. ימי המלחמה הותירו סימניהם בחכם יוסף משה שטרית, הוא סבל מריקבון בשיניו. רופא שיניים לא היה בטבריה, והוא נאלץ להרחיק עד ביירות לרפא את כאביו.
בשנת תרפ"ה (1925) הוסמך כשוחט מומחה, והצטרף לישיבה, הסמוכה לקברו של התנא רבי מאיר בעל הנס. לאחר מכן, החל ללמוד בישיבת בית הדין, בבית הכנסת הגדול 'עץ החיים' על שפת הכנרת, יחד עם חכמי בית הדין: אביו חכם מכלוף שטרית, חכם יעקב חי זריהן, חכם יעקב ועקנין, וחכם אליהו ילוז.
בשנת תרצ"ד (1934) חכם יוסף משה שטרית נשא לאשה את מרת מסעודה בת החכם אהליאב אוחנה.
בשנת תרצ"ו (1936) הוא מגיה את הספר 'קורבן אליצור' של חכם אליעזר מנצור סתהון, אב בית הדין בטבריה.
בשנת תש"ו (1946) הוסמך לרבנות ע"י רבה של טבריה, אב בית הדין, חכם יעקב חי זריהן. הוא משמש בקודש בכל צורכי בציבור בוועד קהילת 'כנסת ישראל', ובמשך למעלה מ20 שנה הוא משמש בקודש כרב בית הכנסת 'מימוניה', הסמוך לציון קברו של הרמב"ם. עד קום המדינה היה פעיל במחתרת 'ההגנה', ולאחר קום המדינה, שירת בצבא כאיש מילואים, והיה פעיל מאוד בקליטת העולים החדשים בטבריה. בתקופת הצנע, בעשר השנים הראשונות להקמת המדינה, ועם בעיות הפרנסה, פתח חנות, והתפרנס ממכירת בדים.
בשנת תשי"ג (1953) נפטר חכם יעקב חי זריהן. הוא מקדיש את ביתו להקמת בית כנסת ובית מדרש. חכם יוסף משה שטרית, עמד לקיים את צוואתו, הוא טיפל במרת לאה, אלמנתו של חכם יעקב חי זריהן עד פטירתה, ואחר פטירתה, הקים על שמם בביתם, את מדרש 'אוהל יעקב ולאה'.
חכם יוסף משה שטרית עסק גם בפעילות ציבורית. הוא היה מזכיר הפועל המזרחי בטבריה, ושימש כחבר מועצת העיר, ותקופה מסוימת שימש גם כסגן ראש העיר. בהמשך שימש מזכיר בית הדין הרבני האזורי, ויו"ר המועצה הדתית. היה חבר ויו"ר כוללות רבי מאיר בעל הנס.
חכם יוסף משה שטרית נפטר ביום י"ח בתמוז תשנ"ה (1995). אחר פטירתו, בשנת תשס"ג (2003) יצא לאור בידי בניו ספרו 'זיכרון לשמו' - שו"ת ודרשות. (תודה לרבי שלום בן אבי על זכות דף החכם)
