גדל בתורה וביראה על ברכי סבו, אבי אימו, חכם עזרא הררי רפול, מחבר הספר 'הכין עזרא'; ועל ברכי אביו, חכם יעקב חי עדס, ראש אבות בתי הדין בירושלים. למד בישיבת 'פורת יוסף', והיה תלמידם של ראשי הישיבה: חכם יהודה צדקה, דודו, חכם משה עדס ,וחכם עזרא עטייה. בשנת תש"ה (1945) הוסמך כשוחט. בשנת תש"ז (1947) הוסמך כמורה הוראה, ובשנת תש"ח (1948) הוסמך לדיינות.
בשנת תשי"א (1951) נשא לאשה את מרת רחל בת חכם אהרן אבוטבול, ונכדתו של חכם יום טוב ידיד הלוי.
בשנת תשי"ב (1952) החל ללמד בישיבת 'פורת יוסף', והיה מכתת רגליו לאסוף צדקה לחלקה בין תלמידי חכמים. בשנת תשכ"ז (1967), זמן קצר לאחר מלחמת ששת הימים, החל ללמד בקביעות שיעור 'אעירה שחר', סמוך לכותל המערבי. אחר תפילת וותיקין היה ממשיך ללמוד בישיבה. בערב היה מלמד בעלי בתים בבית הכנסת 'שאול צדקה' בשכונת 'בית ישראל'. בערבי שבת, היה מלמד בביתו משניות, וביום השבת היה מלמד בבתי הכנסת 'סילווירה', ו'מטלון'. בשנת תשל"ב (1972) ייסד את ישיבת 'יום השישי' ותמך כלכלית בלומדים בה. היה מראשי ישיבת המקובלים 'אמת ושלום', ערך פדיון נפש, ועסק ובמצוות טהרת הנפטרים וקבורתם.
חכם יוסף משה עדס נפטר בחול המועד סוכות, ביום י"ט בתשרי תשנ"ג (1992).
בשנת תשע"ז (2017) יצא לאור ספרו 'אמרי יוסף' - ג' כרכים. בניו הקימו לזכרו את ישיבת 'מעלות יוסף'.
