גדל בתורה וביראה על ברכי אביו, חכם רחמים מאזוז, ששימש נשיא הקהילה היהודית בג'רבה. בהיותו כבד שמיעה, שלחו אביו ללמוד אצל מלמד פרטי, והיה תלמידו המובהק של חכם נסים בן חכם אהרן הכהן.
חכם מנחם מאזוז היה בעל זיכרון נפלא, בקי בספרי המפרשים, ובייחוד בספרי החכם באשי חיים פלאג'י. הייתה לו ספרייה גדולה, והיה מרבה לתת צדקה, ולסייע בהוצאה לאור של ספרי רבנים.
חכם מנחם מאזוז נשא לאשה את מרת מינה בת חכם ברכיה חדאד, ונולדו להם שלושה ילדים: חכם שלמה מאזוז מחבר הספר 'מדרש שלמה', חכם בן-ציון מאזוז ומרת כמסאנה חנה, אשתו של חכם מצליח מאזוז, ה' יקום דמו. בין נכדיו נמנים חכם מאיר מאזוז, ראש ישיבת 'כיסא רחמים', אחיו חכם צמח מאזוז מייסד ומנהל הישיבה, חכם יחזקאל מאזוז ואחיו מר ברוך מאזוז ממנהלי קופת 'כיסא שלמה' וחכם אלטר מאזוז.
חכם מנחם מאזוז התפרנס ברווחה גדולה בעסקי הלוואות לנכרים עד שירד מנכסיו בשל הלוואות שלא נפרעו.
בשנת תרע"ט (1919) חיבר את ספרו 'שערי רחמים', שנותר בכתב יד. במהלך השנים אבדו חלקים מחיבורו.
בשנת תש"ה (1945) חכם מנחם מאזוז עבר אירוע מוחי, שגרם לו שיתוק בחצי מגופו. חכם מנחם נפטר מדוכא בייסורים ביום כ"ג בניסן תשי"ג (1953), ונטמן בג'רבה. ביום י"ב בכסלו תשס"ד (2003) הועלו עצמותיו ועצמות רעייתו ארצה, והובאו למנוחות בהר הזיתים בירושלים.
בשנת תשע"ג (2013) נמצא בספריה הלאומית צילום של כתב יד של מהדורה מוקדמת של ספרו שערי רחמים'. בעקבות הגילוי הספר יצא לאור על ידי נכדי נכדו. לספר צורפו חידושים נוספים של חכם מנחם מאזוז, שנדפסו בעבר בספרו של אביו 'כיסא רחמים', ובספרו של בנו 'מדרש שלמה'. תולדותיו יצאו לאור ב'קונטרס עטרת זקנים' שהודפס בסוף הספר 'שערי רחמים'. חיבור נוסף שלו בשם 'מנחם ירושלים' עומד עדיין בכתב יד.
