תורתו למד מפי רבו, הרב יעקב בן רבי יוסף שטרימר מהעיר קאליש בפולין, שהתיישב בעיר אדירנה, והקים בה ישיבה. גדל בתורה וביראה. למד תורה בעוני, וחי חיי דחק. אשתו נפטרה עליו בחייו, והוא נשא לאישה את האלמנה, אם תלמידו, החכם אברהם קארו. לתקופה מסוימת נאלץ לעבור לעיר קושטא, והקים בה ישיבה. שימש כשליח כוללות צפת בערי תורכיה, ובשנת תע"ה (1715) הגיעה בשליחותו לשאלוניקי.
הראשון לציון, חכם אליעזר נחום חזר לאדירנה, ושימש רב העיר, ואב בית הדין. העמיד תלמידים רבים, בתוכם חכם בנימין קאזיס, רב העיר צפת, וחכם שלמה שלם, רב העיר אמסטרדם.
בשנת ת"צ (1730) חתם על תקנה האוסרת על השוחטים, לקחת בשר מהשחיטה, נוסף על דמי השחיטה.
בשנת תצ"ב (1732) זכה ועלה לארץ ישראל. בדרכו, חישבה אונייתו להיטבע. לרגל הצלתו, חיבר את השיר אזמר בתרועה, לפוצה מרעה'. עם הגיעו לארץ התיישב בעיר ירושלים, וקבע ישיבתו בבית מדרש יעקב פרירה. את מעט כספו הפקיד, טרם עלייתו, אצל 'ועד פקידי ירושלים בקושטא', ששלחו אליו, פירות כספו.
בשנת תצ"ד (1734) נפטר הראשון לציון, חכם בנימין מעלי הכהן, והוא מונה לתפקיד הראשון לציון. הוא עסק במרץ בצורכי ציבור, ושקד על לימוד תורתו. בין תלמידיו בתקופה זו, גם מרן החיד"א, שכותב עליו בספריו.
בשנת תצ"ז (1737) חתם על תקנה בעניין עיזבונות וירושות, ותקנה נגד הסגת גבול בחזקת הבתים. בשנת תק"ג (1743) יצא לאור בקושטא, ספרו 'חזון נחום' על סדר קדשים, ובשנת תק"ה (1745) על סדר טהרות.
הראשון לציון, חכם אליעזר נחום נפטר בחודש חשוון, בשנת תק"ה (1744), ונקבר בהר הזיתים. יום פטירתו אינו ידוע לנו. אנו מציינים אותו ביום י"ב חשוון, שמו אליעזר במספר קטן.
בשנת תשנ"ג (1993) יצא לאור בירושלים ספרו 'מדרש אליעזר' - על המכילתא והספרי. ספריו 'משנת אליעזר' - על ספר העיטור; ו'אותיות אליעזר' - הערות וקושיות על ש"ס ופוסקים, עומדים עדיין בכתב יד. ספר דרשות ופירוש על הרמב"ם, שחיבר אבדו ואינם.
