גדל בתורה וביראה על ברכי חכמי העיר אורן. היה תלמידו של החכם המקובל חיים אבן טובול, אף נשא לאישה את בתו, מרת רחל. קיבץ סביבו חבורת נערים, והיה מלמדם בכל יום בספרי הרמב"ם, בישיבת 'עץ חיים'.
בשנת תרצ"א (1931) התמנה לשמש רב העיר אורן. באורן כאשר היה נהוג היה לנגן בבית הכנסת בעוגב בשבת על ידי שאינו יהודי. חכם דוד אשכנזי ראה שאין סיפק בידו למחות בידם, מה גם שסבר שאין בזה איסור חמור, וכן שגדול השלום, ואם יריב עם קהילתו ייצא שכרו בהפסדו. אף מצא לזה סמך בפסוקים: 'הללוהו במינים ועוגב', וכן ראה כיצד בזכות הנגינה בבית הכנסת, יותר מתפללים מגיעים משבת לשבת. הרב הראשי האשכנזי בארץ ישראל, הרב אברהם יצחק הכהן קוק שמע על הדבר, נדרש לעניין ופסק לאסור. במכתב רב עמודים, שכתב אליו חכם דוד אשכנזי בשנת תרצ"ה (1935), הוא תמה על התערבותו בקהילה, שאינה תחת אחריותו, מנמק את פסיקתו, וחותם פה אורן של חכמים, וכבוד ה' מלא את המשכן.
בשנת תשט"ז (1956) היה שותף להקמת בית הספר החדש ללימודי רבנות בעיר אלג'יר. במהלך בניית בית הספר, נתגלה בחלקתו בית עלמין יהודי עתיק. חכם דוד אשכנזי היה שותף לפסיקת חכמים להתיר המשך הבנייה, לאחר העברת המצבות לבית העלמין היהודי.
בשנת תשי"ח (1958), לאחר פטירת הרב מוריס אייזנבט, מונה לשמש הרב הראשי של אלג'יריה.
בשנת תשכ"ב (1962) עם יציאת יהודי אלג'יריה עזב ועבר להתגורר בפאריס.
בשנת תשכ"ד (1964) יצא לאור ספר השו"ת של הרב אברהם משה פינגרהוט, ששימש אב בית הדין באלג'יר, ובו שתיים מפסיקותיו של חכם דוד אשכנזי: אחת שלא לקבור מומר בקברי ישראל, כדי להרתיע פושעי ישראל;, והשנייה שלא למול חולה המופיליה (דממת), משום ספק פיקוח נפש.
בנו של חכם דוד אשכנזי הוא החכם המקובל יהודה ליאון אשכנזי (מניטו), רבם של יהודי צרפת בישראל.
חכם דוד אשכנזי נפטר בפריז ביום ח' בחשוון תשמ"ג (1983).
